Question

如果直线x+y+m=0与圆x²+y²=2交于相异两点A、B，O是坐标原点，|

OA

+

OB

|＞|

OA

-

OB

|，那么实数m的取值范围是（　　）

• A、(-

  2

  ，

  2

  )
• B、(

  2

  ，2)
• C、(-2，-

  2

  )∪(

  2

  ，2)
• D、（-2，2）

Answer 1

分析：根据直线与圆交于相异的两点可推断出圆心到直线的距离小于半径，同时根据|

OA

+

OB

|＞|

OA

-

OB

|推断出故

OA

和

OB

的夹角为锐角．利用直线的斜率可知直线与x的负半轴的夹角为45度，当

OA

和

OB

的夹角为直角时，可求得原点到直线的距离，进而可求得d的范围，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，求得焦点坐标，则可表示圆心到直线的距离的表达式，进而根据d范围确定m的范围．

解答：解：∵直线x+y+m=0与圆x²+y²=2交于相异两点A、B，
∴O点到直线x+y+m=0的距离 d＜

2

，
又∵|

OA

+

OB

|＞|

OA

-

OB

|，
由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所 对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，故

OA

和

OB

的夹角为锐角．
又∵直线x+y+m=0的斜率为-1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当

OA

和

OB

的夹角为直角时，直线与圆交于（-

2

，0）、（0，-

2

），此时原点与直线的距离为1，
故d＞1 即1＜d＜

2

，
过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（-

m

2

，-

m

2

） 则d=

|m|

2

综上有：-2＜m＜-

2

或

2

＜m＜2
故选C

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了学生数形结合思想和转化与化归思想的运用．