Question

18．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a_n+a_n+4=2a${\;}_{{b}_{n}}$，各项均为正数的等比数列{c_n}中，c₁c₉=16，c₃c₅=4，求数列{b_nc_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 公差不为0的等差数列{a_n}中，a_n+a_n+4=2a${\;}_{{b}_{n}}$，可得：2a_n+2=2${a}_{{b}_{n}}$，b_n=n+2．设等比数列{c_n}的公比为q＞0，由c₁c₉=16，c₃c₅=4，利用等比数列的通项公式可得：q，c₁．c_n．于是b_nc_n=（n+2）2^n-3．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵公差不为0的等差数列{a_n}中，a_n+a_n+4=2a${\;}_{{b}_{n}}$，
∴2a_n+2=2${a}_{{b}_{n}}$，解得b_n=n+2．
设等比数列{c_n}的公比为q＞0，∵c₁c₉=16，c₃c₅=4，∴${c}_{1}^{2}{q}^{8}$=16，${c}_{1}^{2}{q}^{6}$=4，化为${c}_{1}{q}^{4}$=4，${c}_{1}{q}^{3}$=2，解得q=2，c₁=$\frac{1}{4}$．
∴c_n=$\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3．
∴b_nc_n=（n+2）2^n-3．
∴数列{b_nc_n}的前n项和S_n=3×2^-2+4×2^-1+5×2⁰+6×2¹+…+（n+2）2^n-3．
2S_n=3×2^-1+4×2⁰+…+（n+1）×2^n-3+（n+2）×2^n-2，
∴-S_n=3×2^-2+2^-1+2⁰+2+…+2^n-3-（n+2）×2^n-2=2^-1+$\frac{\frac{1}{4}（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+2）×2^n-2=$\frac{1}{4}$-（n+1）×2^n-2，
∴S_n=（n+1）×2^n-2-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．