题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 与射线y= $数学公式$ （x≥0）公共点为P，过P作两条倾斜角互补且不重合的直线，它们与双曲线都相交且另一个交点分别为A，B（不同于P）．
（1）求点P到双曲线两条渐近线的距离之积；
（2）设直线PA斜率为k，求k的取值范围；
（3）求证直线AB的斜率为定值．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，得P（2，1），
双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，
点P（2，1）到两条渐近线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离分别是
$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，
∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积
d₁d₂= $\text{[math]}$ ．
（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为：y-1=k（x-2），
即kx-y+1-2k=0，
由 $\text{[math]}$ ，消去y，并整理，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，
∵直线PA与双曲线 $\text{[math]}$ 有两个交点，
∴△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，
即k²-2k+1＞0，
∴k≠1．
故k的取值范围是（-∞，1）∪（1，+∞）．
（3）∵P（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线，
设PA斜率是m，则PB斜率是-m
则PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，
分别与双曲线方程联立，得
$\text{[math]}$ ，
（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，
∵2是方程的一个根，
∴ $\text{[math]}$ -2，
同理， $\text{[math]}$ -2，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴y₁-y₂= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-1．
即直线AB的斜率为定值-1．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，得P（2，1），双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，由此能求出点P到双曲线两条渐近线的距离之积．
（2）设直线PA斜率为k，则PA的方程为kx-y+1-2k=0，由 $\text{[math]}$ ，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，由直线PA与双曲线 $\text{[math]}$ 有两个交点，知△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，由此能求出k的取值范围．
（3）P（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设PPA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，分别与双曲线方程联立，得（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，由2是方程的一个根，知 $\text{[math]}$ -2，同理， $\text{[math]}$ -2，所以 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以y₁-y₂= $\text{[math]}$ ，由此能够证明直线AB的斜率为定值-1．
点评：本题主要考查双曲线的标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．