题目内容

随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互独立到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为 $数学公式$ 小时以上且不超过2小时还车的概率分别为 $数学公式$ 小时以上且不超过3小时还车的概率分别为 $数学公式$ ，两人租车时间均不会超过4小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．
（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．

解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元
两人都付0元的概率为P₁= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
两人都付1元的概率为P₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
两人都付3元的概率为P₃= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
两人都付6元的概率为P₄=（1- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）×（1- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P₁+P₂+P₃+P₄= $\text{[math]}$
（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则P（X=0）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（X=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P（X=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（X=3）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P（X=4）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

X的数学期望为E（X）=1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ =3
分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
点评：本题主要考查了独立事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．