题目内容

某厂准备投资100万元生产A，B两种新产品，据测算，投产后的年收益，A产品是投入数的 $数学公式$ ，B产品则是投入数开平方后的2倍，设投入B产品的数为x²（0＜x≤10）万元．
（Ⅰ）设两种产品的总收益为P（x），求P（x）的解析式；
（Ⅱ）怎样分配投入数，使总收益P（x）最大．

解：（Ⅰ）由题意，投入A产品的数为100-x²（0＜x≤10）万元，
因为投产后的年收益，A产品是投入数的 $\text{[math]}$ ，B产品则是投入数开平方后的2倍，
所以P（x）= $\text{[math]}$ （100-x²）+2x=- $\text{[math]}$ x²+2x+20（0＜x≤10）；
（Ⅱ）P（x）=- $\text{[math]}$ x²+2x+20=- $\text{[math]}$ （x-5）²+25
∵0＜x≤10，
∴x=5时，总收益P（x）最大为25万元．
此时，A产品投入75万元；B产品投入25万元．
分析：（Ⅰ）确定投入A产品的数，利用投产后的年收益，A产品是投入数的 $\text{[math]}$ ，B产品则是投入数开平方后的2倍，可得P（x）的解析式；
（Ⅱ）利用配方法，可求函数的最值，从而可得结论．
点评：本题考查函数模型的构建，考查配方法求函数最值，考查学生的计算能力，属于中档题．