题目内容

某厂家生产一种精密仪器，已知该工厂每日生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率P与每日生产的产品件数x（x∈N^*）之间的关系为p（x）= $数学公式$ ，每生产一件正品盈利2 000元，每生产一件次品亏损1 000元．已知若每日生产10件，则生产的正品只有7件．（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）
（1）求日利润y（元）与日产量x（件）之间的函数关系式；
（2）求该工厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．

解：（1）∵在生产过程中产品的正品率P与每日生产的产品件数x（x∈N^*）之间的关系为p（x）= $\text{[math]}$ ，
每日生产10件，则生产的正品只有7件
∴ $\text{[math]}$ ，∴m=2200，∴p（x）= $\text{[math]}$
∴y=2000• $\text{[math]}$ •x-1000•（1- $\text{[math]}$ ）•x=1200x-x³，
（2）y′=1200-3x²=0，∴x=20
∴函数在（0，20）上单调递增，在（20， $\text{[math]}$ ）上单调递减
∴x=20时，函数取得极大值，即为最大值，最大值为16000元．
分析：（1）利用每日生产10件，则生产的正品只有7件，确定m的值，利用每生产一件正品盈利2 000元，每生产一件次品亏损1 000元，可得日利润y（元）与日产量x（件）之间的函数关系式；
（2）求导数，确定函数的单调性，从而可求极值，即可得到结论．
点评：本题考查函数模型的建立，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．