Question

9．如果函数f（x）=3sin（2x-φ）（0＜φ＜π）的图象满足f（x+$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{6}$-x），则f（x）$≥\frac{3}{2}$的解集为{x|kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 根据正弦函数的对称轴求出φ的值，继而得到函数的解析式，在根据三角函数的图象和性质，得到sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，解得即可．

解答 解：函数f（x）=3sin（2x-φ）（0＜φ＜π）的图象满足f（x+$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{6}$-x），
∴f（x）的对称轴为x=$\frac{π}{6}$，
∴2x-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）=3sin（2x-$\frac{5π}{6}$），
∵f（x）$≥\frac{3}{2}$，
∴3sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≥$\frac{3}{2}$，
∴sin（2x-$\frac{5π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）$≥\frac{3}{2}$的解集为{x|kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z}，
故答案为：{x|kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z}．

点评 本题考查了正弦函数的图象和性质，以及不等式的解法，属于中档题．