题目内容

两非零向量 $数学公式$ 满足：2 $数学公式$ 垂直，集合A={x|x²+（| $数学公式$ |+| $数学公式$ |）x+| $数学公式$ || $数学公式$ |=0}是单元素集合．
（1）求 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角
（2）若关于t的不等式| $数学公式$ |＜| $数学公式$ |的解集为空集，求实数m的值．

解：（1）由2 $\text{[math]}$ 垂直得 $\text{[math]}$ =0，即 $\text{[math]}$ ，
由A={x|x²+（| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |）x+| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |=0}是单元素集合得：
△= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，由夹角公式可得cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故θ= $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$
（2）关于t的不等式| $\text{[math]}$ |＜| $\text{[math]}$ |的解集为空集，则
不等式| $\text{[math]}$ |≥| $\text{[math]}$ |的解集为R，
从而 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 对一切t∈R恒成立，
将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 代入上式得：t²-t+m-m²≥0对一切t∈R恒成立，
∴△=1-4（m-m²）≤0，即（2m-1）²≤0，解得m= $\text{[math]}$
分析：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，代入夹角公式可得答案；
（2）由（1）可把不等式转化为：t²-t+m-m²≥0对一切t∈R恒成立，可得△=1-4（m-m²）≤0，解之即可．
点评：本题为向量的综合应用，涉及夹角公式和不等式的恒成立问题，属中档题．