Question

1．（1）已知角θ的终边在直线y=-2x上，求5sinθ-$\frac{2}{cosθ}$的值；
（2）化简$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）•cos（α-nπ）}$（n∈Z）

Answer 1

分析 （1）由已知分θ的终边所在象限在终边上任取一点，利用三角函数的定义求出θ的正弦和余弦值得答案；
（2）直接分n为偶数和奇数化简求值．

解答 解：（1）∵角θ的终边在直线y=-2x上，∴tanθ=-2，
在直线y=-2x上取一点A（-1，2），则OA=$\sqrt{5}$，
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos$θ=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，则5sinθ-$\frac{2}{cosθ}$=$5×\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{2}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$4\sqrt{5}$．
在直线y=-2x上取一点B（1，-2），则OA=$\sqrt{5}$，
∴sinθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则5sinθ-$\frac{2}{cosθ}$=$5×（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）-\frac{2}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=-4\sqrt{5}$；
（2）当n为偶数时，$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）•cos（α-nπ）}$=$\frac{sinα+sinα}{sinαcosα}=\frac{2}{cosα}$．
当n为奇数时，$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）•cos（α-nπ）}$=$\frac{-sinα-sinα}{-sinα•（-cosα）}=-\frac{2}{cosα}$．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查了三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，是基础题．