题目内容

动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x²=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦．
（1）当圆心D在原点时，过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点，求△ABC的最大面积；
（2）当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求 $数学公式$ 的最大值．

解：（1）设直线BC为y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0，
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为 $\text{[math]}$ ．
（2）设圆心 $\text{[math]}$ ，则圆为 $\text{[math]}$ ．
当y=0时，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
=2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时取得最大值．
分析：（1）设直线BC为y=kx+1，代入x²+y²=4得，（1+k²）x²+2kx-3=0， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．由此知当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为 $\text{[math]}$ ．
（2）设圆心 $\text{[math]}$ ，则圆为 $\text{[math]}$ ．当y=0时，x=a±2，|MN|=4，令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，由此能求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．