Question

（1）求77⁷⁷-7被19整除所得的余数；
（2）求1.02⁵的近似值（精确到0.01）．

Answer 1

【答案】分析：（1）77=4×19+1=76+1，故77⁷⁷=（76+1）⁷⁷展开式按照76的降幂排列，前边的项均能被19整除，故只需考虑最后一项即可．
（2）1.02⁵=（1+0.02）⁵展开式按照0.02的升幂排列，次数越高，越接近于0，可忽略不计．当精确到0.01时，只需取展开式的前三项和即可．
解答：解：（1）∵77=76+1=4×19+1，
∴77⁷⁷-7=（76+1）⁷⁷-7=C₇₇•76⁷⁷+C₇₇¹•76⁷⁶++C₇₇⁷⁶•76+C₇₇⁷⁷•1-7
=76（C₇₇•76⁷⁶+C₇₇¹•76⁷⁵++C₇₇⁷⁶）-19+（19-6），所以余数是19-6=13．
（2）1.02⁵=（1+0.02）⁵=1+C₅¹•0.02+C₅²•0.02²+C₅³•0.02³+C₅⁴•0.02⁴+C₅⁵•0.02⁵，
∵C₅²•0.02²=4×10^-3=0.004，
C₅³×0.02³=8×10^-5，
∴当精确到0.01时，只需取展开式的前三项和为：
1+0.10+0.004=1.104．则近似值为1.10．
点评：本题考查二项式定理的应用，处理整除问题和近似计算问题，综合性较强．