题目内容

若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:
①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx; 
|x|+1=
4-y2

对应的曲线中存在“自公切线”的有
②③
②③
分析:①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
②在 x=
1
2
 和 x=-
1
2
 处的切线都是y=-
1
4
,故②有自公切线.
③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.
④结合图象可得,此曲线没有自公切线.
解答:解:①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
②y=x2-|x|=
(x-
1
2
)2-
1
4
(x+
1
2
)2-
1
4
,在 x=
1
2
 和 x=-
1
2
 处的切线都是y=-
1
4
,故②有自公切线.
③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cosφ=
3
5
,sinφ=
4
5
,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.
④由于|x|+1=
4-y2
,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线.
故答案为②③.
点评:正确理解新定义“自公切线”,正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键.
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