题目内容
若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:
①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有
①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
4-y2 |
对应的曲线中存在“自公切线”的有
②③
②③
.分析:①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
②在 x=
和 x=-
处的切线都是y=-
,故②有自公切线.
③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.
④结合图象可得,此曲线没有自公切线.
②在 x=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.
④结合图象可得,此曲线没有自公切线.
解答:解:①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;
②y=x2-|x|=
,在 x=
和 x=-
处的切线都是y=-
,故②有自公切线.
③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cosφ=
,sinφ=
,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.
④由于|x|+1=
,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线.
故答案为②③.
②y=x2-|x|=
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cosφ=
3 |
5 |
4 |
5 |
④由于|x|+1=
4-y2 |
故答案为②③.
点评:正确理解新定义“自公切线”,正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键.
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