题目内容
4．求和：（1）$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$+$\frac{1}{{A}_{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n+1}^{2}}$；
（2）1×1！+2×2！+3×3！+…+n×n!；
（3）$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+$…+$\frac{n}{（n+1）!}$．
分析 利用排列数公式化简通项，裂项求和可得结论．
解答 解：（1）$\frac{1}{{A}_{n+1}^{2}}$=$\frac{2}{（n+1）n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$+$\frac{1}{{A}_{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n+1}^{2}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$；
（2）n×n!=（n+1）!-n!
∴1×1！+2×2！+3×3！+…+n×n!=2!-1!+3!-2!+…+（n+1）!-n!=（n+1）!-1；
（3）$\frac{n}{（n+1）!}$=$\frac{1}{n!}$-$\frac{1}{（n+1）!}$
∴$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+$…+$\frac{n}{（n+1）!}$=1-$\frac{1}{2!}$+$\frac{1}{2!}$-$\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}$-$\frac{1}{（n+1）!}$=1-$\frac{1}{（n+1）!}$．
点评 本题考查利用排列数公式化简通项，裂项求和，考查学生的计算能力，正确化简通项，裂项求和是关键．
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