题目内容
已知向量
=(x，
y)，
=(1，0)，且(
+
)⊥(
-
)．
（Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
（Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．
分析：（I）由(
+
)⊥(
-
)，整理可求Q点的轨迹方程．
（II）由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，结合直线与椭圆有两个不同的交点，可得△＞0，从而可得m与k得关系，设弦MN的中点为P由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，从而有KAP•Kmn=-1，代入可求．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
（II）由
|
解答：解：（I）由题意得：
，∵(
+
)⊥(
-
)，．∴Q点的轨迹C的方程为
+y2=1.…（4分）
（II）由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①…（6分）
（1）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xp，yp），xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xp=
=-
从而yp=kxp+m=
kAP=
=-
…（8分）
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则-
=-
即2m=3k2+1②，将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2=
＞0，解得m＞
，故所求的m取值范围是(
，2)．…（10分）
（2）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得-1＜m＜1．
…（12分）
|
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| x2 |
| 3 |
（II）由
|
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①…（6分）
（1）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xp，yp），xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xp=
| xM+xN |
| 2 |
| 3mk |
| 3k2+1 |
| m |
| 3k2+1 |
| yp+1 |
| xp |
| m+3k2+1 |
| 3mk |
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则-
| m+3k2+1 |
| 3mk |
| 1 |
| k |
| 2m-1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得-1＜m＜1．
|
点评：本题考查了轨迹方程的求法，椭圆性质的应用，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式及两直线垂直与斜率关系的相互转化得应用．
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