Question

3．已知函数f（x）=x²+2x，x∈[t-1，t]．
（1）求f（x）的最大值g（t）的解析式；
（2）并画出g（t）的图象．

Answer 1

分析 （1）分析函数f（x）=x²+2x的图象和性质，再分析区间[t-1，t]与对称轴的关系，可得f（x）的最大值g（t）的解析式；
（2）根据分段函数图象分段画的原则，可画出g（t）的图象．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+2x的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
当$\frac{t-1+t}{2}$＜-1，即t＜-$\frac{1}{2}$时，x=t-1时，f（x）的最大值g（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
当$\frac{t-1+t}{2}$≥-1，即t≥-$\frac{1}{2}$时，x=t时，f（x）的最大值g（t）=t²+2t，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-1，t＜-\frac{1}{2}\\{t}^{2}+2t，t≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$；
（2）函数g（t）的图象如下图所示：

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．