Question

设△ABC顶点坐标A(0，1)，B(-

3

，0)，C(

3

，0)，圆M为△ABC的外接圆．
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点（1，3）且与圆M相交于P、Q，弦PQ长为2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆M的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将点A(0，1)，B(-

3

，0)，C(

3

，0)代入可得方程组，由此可得圆M的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与x轴垂直，则l：x=1，可知符合题意；若直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0，求得点M（0，-1）到l的距离d=

|4-k|

k2+1

，利用弦PQ长为2

3

，即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
因为圆M过点A(0，1)，B(-

3

，0)，C(

3

，0)，所以

1+E+F=0 3- 3 D+F=0 3+ 3 D+F=0

，…（4分）
解得

D=0 E=2 F=-3

，所以圆M的方程为x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．　（7分）
（Ⅱ）若直线l与x轴垂直，则l：x=1，
由

x=1 x2+y2+2y-3=0

，得

x=1 y=-1± 3

，所以PQ=2

3

，符合题意．　…（9分）
若直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0
点M（0，-1）到l的距离d=

|4-k|

k2+1

∴PQ=2

r2-d2

=2

4- (4-k)2 k2+1

=2

3

，…（12分）
∴k=

15

8

，此时l方程为y=

15

8

x+

7

8

综上所述，直线l的方程是x=1或y=

15

8

x+

7

8

．　　　　　　　…（15分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆相交的弦长问题，解题的关键是利用待定系数法，利用圆的特殊性．