Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2).

(1)求（a-2）(b-2)的值；

（2）求线段AB中点的轨迹方程;

（3）求△AOB面积的最小值.

Answer 1

解析：（1）由题意知，直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.曲线C的方程配方得（x-1）²+(y-1)²=1,∴直线l与圆C相切的充要条件是1=，整理得ab-2a-2b+2=0,即（a-2）(b-2)=2.

(2)设AB的中点为M（x,y）,则由中点坐标公式得a=2x,b=2y,代入（1）的结论：（2x-2）(2y-2)=2,即 （x-1）(y-1)=(其中x＞1,y＞1),这便是中点M的轨迹方程.

(3)S_△AOB=ab,由（1）知ab=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3.当且仅当a=b=2+时上式取等号，∴S_△AOB的最小值为2+3.