Question

某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖（转盘为十二等分的圆盘），满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的，若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金，若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其它区域则不中奖（若指针停到两区间的实线处，则重新转动）．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则能与了促销活动．
（Ⅰ） 求顾客甲中一等奖的概率；
（Ⅱ） 记ξ为顾客甲所得的奖金数，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 设事件A表示该顾客中一等奖，利用排列组合知识能求出该顾客中一等奖的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0，分别求出P（ξ=20），P（ξ=15），P（ξ=10），P（ξ=5），P（ξ=0），由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ） 设事件A表示该顾客中一等奖，
则P（A）=

1

12

×

1

12

+2×

1

12

×

11

12

=

23

144

．
所以该顾客中一等奖的概率是

23

144

．
（Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0
P（ξ=20）=

1

12

×

1

12

=

1

144

，P（ξ=15）=2×

1

12

×

2

12

=

1

36

，
P（ξ=10）=

1

12

×

1

12

+2×

1

12

×

9

12

=

11

72

，
P（ξ=5）=2×

2

12

×

9

12

=

1

4

，P（ξ=0）=

9

12

×

9

12

=

9

16

，（每个1分）
所以ξ的分布列为

ξ	20	15	10	5	0
P	1 144	1 36	11 72	1 4	9 16

数学期望Eξ=20×

1

144

+15×

1

36

+10×

11

72

+5×

1

4

=

10

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．