Question

盒子内有相同的白球和红球，任意摸了一个球是红球的概率为0.1，每次摸出球后都放回盒子内．
（1）摸球5次，求仅出现一次红球的概率（保留2位有效数字）；
（2）摸球3次，出现X次红球，写出随机变量X的分布列，并求X的均值和方差；
（3）求从第一次起连续摸出白球数不小于3的概率．

Answer 1

解：（1）P=C₅¹（0.1）（1-0.1）⁴=0.32508≈0.33．（2分）
（2）X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	C30（0.9）3	C31（0.1）（0.9）2	C32（0.1）2（0.9）	C33（0.1）3

EX=3×0.1=0.3；
DX=3×0.1×0.9=0.27．（5分）
（3）设事件{η=k}表示连续出现了k-1个白球，且第k个是红球，得：
P（η=1）=0.1，
P（η=2）=（1-0.1）×0.1=0.09，
P（η=3）=（1-0.1）²×0.1=0.081
因为P（η＞3）=1-P（η≤3），所以
P（η＞3）=1-[P（η=1）+P（η=2）+P（η=3）]
=1-（0.1+0.09+0.081=0.7290，
所以事件“连续出现白球的个数不小于3”的概率为0.729．
分析：（1）直接根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的公式进行求解即可；
（2）根据题意可知X=0、1、2、3，然后分别求出X对应的概率，列出分布列，然后根据数学期望公式和方差公式进行求解即可；
（3）设事件{η=k}表示连续出现了k-1个白球，且第k个是红球，求出P（η=1），P（η=2），P（η=3），然后根据（η＞3）=1-P（η≤3），则P（η＞3）=1-[P（η=1）+P（η=2）+P（η=3）]求出所求．
点评：本题考查古典概型，考查离散型随机变量的分布列，考查解决实际问题的能力，是一个综合题，注意解题的格式，遇到这种问题一定要得全分．