题目内容
（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。
求数列的通项公式；
试确定实数的值，使得数列为等差数列；
当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
解： （1）由题意，则，解得或
因为为正整数，所以， -------------------3分
又，所以-------------------6分
（2）当时，得，
同理：时，得；时，得，
则由，得。-------------------8分
而当时，，得。-------------------10分
由，知此时数列为等差数列。-------------------12分
（3）由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；-------------------13分
当时，，所以成立；-------------------14分
当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则
-------------------16分
又，所以，
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。
即当时， -------------------17分
综上所述，满足题意的正整数仅有。-------------------18分
（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。
如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。
（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。
若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？
如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点， 试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）
（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
求异面直线与所成角的大小；
（结果用反三角函数值表示）
（2）求点到平面的距离。
写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。