Question

已知A，B，C是△ABC的三个内角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，向量

m

=(1，-

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=-1．
（1）求角A
（2）若

AB

•

AC

=2，求b，c．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量数量积的运算法则化简

m

•

n

=-1，得到关于cosA和sinA的关系式，利用同角三角函数间的平方关系化简可得sinA的值，根据A的范围及特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用平面向量数量积的运算法则化简

AB

•

AC

=2，得到bc=4记作①，然后利用余弦定理表示出a²的关系式，把a的值代入即可得到b²+c²=8记作②，联立①②即可求出b和c的值．

解答：解：（1）由

m

•

n

=cosA-

3

sinA=-1，得到cosA=

3

sinA-1，代入sin²A+cos²A=1中得：
sin²A+(

3

sinA-1)2=1，化简得：sinA（2sinA-

3

）=0，因为sinA≠0，所以2sinA-

3

=0即sinA=

3

2

因为A∈（0，180°），所以A=60°或120°；
（2）由

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=bccosA=2，因为cosA=

1

2

（cosA=-

1

2

舍去），则bc=4①，
而a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4=4，所以b²+c²=8②，联立①②，解得b=2，c=2．

点评：此题考查学生灵活运用平面向量数量积的运算法则化简求值，利用运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，是一道综合题．学生做题时应注意角度的范围，以及理解cosA=-

1

2

舍去的原因是bc＞0．