Question

已知两点，给出下列曲线方程：
①4x+2y-1=0；
②x²+y²=3；
③；
④．
在这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．根据M，N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可．
解答：解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．
MN的中点坐标为（-，0），MN斜率为=
∴MN的垂直平分线为y=-2（x+），
∵①4x+2y-1=0与y=-2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．
②x²+y²=3与y=-2（x+），联立，消去y得5x²-12x+6=0，△=144-4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=-2（x+），联立，消去y得9x²-24x-16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=-2（x+），联立，消去y得7x²-24x+20=0，△，0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
故选D
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用判别式来判断二者的位置关系．