题目内容

如图,A为双曲线M:x2-y2=1的右顶点,平面上的动点P到点A的距离与到直线l:x=-1的距离相等.
(Ⅰ) 求动点P的轨迹N的方程;
(Ⅱ)已知双曲线M的两条渐近线分别与轨迹N交于点B,C(异于原点).试问双曲线M上是否存在一点D,满足
DB
DC
=
DA
2
?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)方法一:设点P(x,y),点P到直线l的距离为d,利用|PA|=d,建立方程,化简可得动点P的轨迹N的方程;
方法二:由抛物线定义知:动点P的轨迹N是以A(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,故可求动点P的轨迹N的方程;                     
(2)双曲线M的渐近线方程与抛物线方程联立,可得点B、C的坐标,设点D(x,y),则|x|≥1,利用
DB
DC
=
DA
2
,即可得到结论.
解答:解:(1)方法一:依题意,A(1,0)
设点P(x,y),点P到直线l的距离为d,则|PA|=d
(x-1)2+y2
=|x+1|
,化简得:y2=4x
方法二:依题意,A(1,0)
由抛物线定义知:动点P的轨迹N是以A(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.                            
(2)双曲线M的渐近线方程为y=±x
联立抛物线方程y2=4x,可得点B(4,4)、C(4,-4)
设点D(x,y),则|x|≥1
DB
DC
=
DA
2
,则(x-4)2+y2-16=(x-1)2+y2
x=-
1
6

∵|x|≥1,∴不存在点D满足题意.
点评:本题主要考查抛物线的定义、双曲线的性质、向量数量积等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网