Question

已知直线l经过P（3，2），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）当△OAB的面积为16时，求直线l的方程
（Ⅱ）当△OAB面积取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线的截距式方程，由三角形面积公式和直线经过P（3，2），联解得到直线在x、y轴上的截距，再将得到的方程化简，即可得到满足条件的直线l的方程；
（2）设出直线的点斜式方程，将△OAB面积表示成关于斜率k的式子，再利用基本不等式求最值，即得△OAB面积取最小值时斜率的值，从而得出满足条件的直线l的方程．

解答：解：（I）设直线方程

x

a

+

y

b

=1，（a＞b＞0）
∵△OAB的面积为16时，∴

1

2

ab=16，可得ab=32．
∵P（3，2）在直线l上，可得

3

a

+

2

b

=1
∴两式联解得a=4、b=8或a=12、b=

8

3

由此可得直线方程为

x

4

+

y

8

=1或

x

12

+

y

8 3

=1
化简得2x+y-8=0或2x+9y-24=0；
（II）设直线方程为  y-2=k（x-3），k＜0，可得A （3-

2

k

，0 ）、B （0，2-3k），
S_△OAB=

1

2

 （3-

2

k

 ）（ 2-3k）=

1

2

[12+（-9k）+

4

-k

]≥12，
当且仅当 （-9k）=

4

-k

 时，即  k=-

2

3

 时，等号成立，
此时，直线方程为  y-2=-

2

3

（x-3），即2x+3y-12=0．

点评：本题给出经过定点的直线，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．