Question

20．函数f（x）=log₂（2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x）的定义域和值域．

Answer 1

分析 化简函数f（x），根据对数的真数大于0，列出不等式，求出x的取值范围即可；
根据三角函数的有界性，求出对数函数真数的取值范围，从而得出f（x）的值域．

解答 解：∵函数f（x）=log₂（2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x）
=log₂（$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1）
=log₂[2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1]，
令2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1＞0，
解得sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞-$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{π}{6}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{π}{6}$+kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的定义域为（-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{2}$+kπ），k∈Z；
又∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3；
应取0＜2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴log₂[2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1]≤log₂3，
即f（x）的值域为（-∞，log₂3]．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．