Question

已知一个 数列的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2^k-1个2，如：1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，…则该数列前2009项的和S₂₀₀₉=

4007

．

Answer 1

分析：先将数列分组，便于发现规律，如分为（1，2），（1，2，2），（1，2，2，2，2）…，每组的项数构成数列2，3，5，9…，2^n-1+1，再计算第2009项处于第几组的第几个数，最后数列分组求和即可

解答：解：此数列可分若干组（1，2），（1，2，2），（1，2，2，2，2）…，每组的项数构成数列2，3，5，9…，2^n-1+1
由2+3+5+9+…+2^n-1+1=1+1+2+1+4+1+…+2^n-1+1=n+

1×(2n-1)

2-1

=n+2ⁿ-1≤2009，得n≤10，
故第10组的最后一个2是第1033项，1034项为1，后边有2¹⁰项2，第975个2是数列的第2009项
故S₂₀₀₉=11+2（1+2+2²+…+2⁹+975）=4007
故答案为4007

点评：本题考察了观察法求数列的通项公式，数列求和方法等知识，解题时要善于发现规律，层层深入的解决问题，要有较强的运算能力