Question

素材1：设抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F,AB过焦点F且不垂直于x轴;

素材2：线段AB的垂直平分线l交x轴于N点.

试根据上述素材构建一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题：抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F，AB是过焦点F，且不垂直于x轴的一条弦，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,试证明|AB|=2|FN|.

证明：设点M为弦AB的中点，分别过A、B、M作抛物线准线的垂线，垂足为C、D、E.

∵AB为焦点弦，据抛物线定义及梯形的中位线性质，有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|ME|.

要证|AB|=2|FN|，只要证|ME|=|FN|.

又EM∥FN，

∴只要证EF∥MN，即可得四边形EFNM为平行四边形，从而有|EM|=|FN|.∵MN⊥AB,下证EF⊥AB.

设点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、M(x₀,y₀),则y₁+y₂=2y₀.

∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,两式相减，得y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),∴,即k_AB=.

又点E（-,y₀）、F(,0),∴k_EF=.

∴k_AB·k_EF==-1.

∴AB⊥EF成立.

综上分析，|AB|=2|FN|.