Question

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

（3）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的，当，且时，.

Answer 1

1）函数是集合M中的元素. （2）同解析（3）同解析

解析:

1）因为，所以满足条件，

又因为当时，，所以方程有实数根0.

所以函数是集合M中的元素.

（2）假设方程存在两个实数根），则，

不妨设，根据题意存在数，

使得等式成立，

因为，，且，所以，

与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；

（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，

又因为，所以函数为减函数，

所以，

所以，即，

所以

.