题目内容
设M是由满足下列条件的函数构成的集合:“①方程有实数根;②函数的导数满足.”
(1)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(2)集合M中的元素具有下面的性质:若的定义域为D,则对于任意,都存在,使得等式成立”,试用这一性质证明:方程只有一个实数根;
(3)设是方程的实数根,求证:对于定义域中任意的,当,且时,.
1)函数是集合M中的元素. (2)同解析(3)同解析
解析:
1)因为,所以满足条件,
又因为当时,,所以方程有实数根0.
所以函数是集合M中的元素.
(2)假设方程存在两个实数根),则,
不妨设,根据题意存在数,
使得等式成立,
因为,,且,所以,
与已知矛盾,所以方程只有一个实数根;
(3)不妨设,因为所以为增函数,所以,
又因为,所以函数为减函数,
所以,
所以,即,
所以
.
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