Question

【题目】设函数f（x）=ex（ax2﹣x﹣1）（a∈R）．
（1）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围
（2）当a＞0时，求f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex（ax2﹣x﹣1），

∴f'（x）=ex（ax2﹣x﹣1）+ex（2ax﹣1）=ex[ax2+（2a﹣1）x﹣2]，

①a=0时，显然不满足，

②当a≠0时，f'（x）≤0恒成立，

即a＜0且（2a﹣1）2+4×2×a≤0，所以

（2）解：①当 ，

②当

【解析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系，即可求出a的范围．（2）讨论a的取值范围，再根据导数求函数的单调性，从而可求出函数的最小值．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．