Question

椭圆C的方程为，F₁、F₂分别为C的左、右焦点，点A的坐标为（1，1），P是C上的任意一点，给出下列结论：
①|PF₁|-|PF₂|有最大值5，②|PF₁|•|PF₂|有最大值9，③|PF₁|²+|PF₂|²有最大值18，④|PF₁|+|PA|有最小值，其中正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①利用三角形两边之差小于第三边可证明当点P在x轴上时，|PF₁|-|PF₂|有最大值2c，由椭圆标准方程计算焦距即可；
②利用椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求积|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
③利用焦半径公式设P点横坐标为x，则|PF₁|²+|PF₂|²可转化为关于x0的一元函数，由x的范围即可求得|PF₁|²+|PF₂|²的最大值；
④由椭圆的定义结合三角形的性质，即可判断
解答：解：①当P点不在x轴上时，P，F1，F2，三点构成三角形，此时|PF₁|-|PF₂|＜|F₁F₂|，
∵|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|＜4，
当P点在x轴上时，|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|≤4，即①|PF₁|-|PF₂|有最大值4，①错误．
②∵P点在椭圆 上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=6，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤=9，∴|PF₁|•|PF₂|有最大值9，②正确．
③根据椭圆方程，可得椭圆的离心率为
设P点横坐标为x，则|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（a+ex）²+（a-ex）²=2a²+2e²x²=18+x²
∵P点在椭圆 上，∴x²≤9，∴18+x²≤26，∴PF₁|²+|PF₂|²有最大值26，
∴③错误，
④由椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，，|PF₁|+|PA|+|F₂A|≥|PF₁|+|PF₂|
∴|PF₁|+|PA|≥|PF₁|+|PF₂|-|F₂A|=6-，所以有最小值，正确．
故答案为：②④．
点评：本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．