题目内容

设平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosx+2
3
，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，
π
2
），证明：
a
和
b
不可能平行；
（2）若
c
=（0，1），求函数f（x）=
a
•（
b
-2
c
）的最大值，并求出相应的x值．
分析：（1）利用反证法进行证明，假设
a
和
b
平行，根据共线向量的坐标关系建立等式，然后找出矛盾即可；
（2）根据数量积公式化简函数f（x）=
a
•（
b
-2
c
），整理成Asin（ωx+φ）+B形式，从而可求出最大值，并求出相应的x值即可．
解答：解：（1）假设
a
和
b
平行，则cosxsinx-sinx（cosx+2
3
）=0
则2
3
sinx=0即sinx=0，
而x∈（0，
π
2
）时，sinx＞0，矛盾．
∴
a
和
b
不可能平行；
（2）f（x）=
a
•（
b
-2
c
）=
a
•
b
-2
a
•
c

=cos2x+2
3
cosx+sin2x-2sinx
=1-2sinx+2
3
cosx
=1-4sin（x-
π
3
）
所以f（x）max=5，x=2kπ-
π
6
（k∈Z）．
点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及平行向量与共线向量的坐标关系，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，证明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函数f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相应的x值．
设平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（
3
2
，
1
2
），函数f（x）=
a
•
b
+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当f（a）=
9
5
，且
π
6
＜a＜
2π
3
时，求sin（2a+
2π
3
）的值．
设平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，证明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函数f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相应的x值．
设平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosx+2
3
，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，
π
2
），证明：
a
和
b
不可能平行；
（2）若
c
=（0，1），求函数f（x）=
a
•（
b
-2
c
）的最大值，并求出相应的x值．

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