Question

如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30°处，|OP|=10千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）

Answer 1

分析：先建立坐标系，求出抛物线方程，利用抛物线的定义知，公路总长QF+QP≥PF，从而使问题得解．

解答：解：（1）过点O作准线的垂线，垂足为A，以OA所在直线为x轴，OA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系…（2分）
由题意得，

p

2

=0.4…（4分）
所以，抛物线C：y²=1.6x…（6分）
（2）设抛物线C的焦点为F由题意得，P(5，5

3

)…（8分）
根据抛物线的定义知，公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…（12分）
当Q为线段PF与抛物线C的交点时，公路总长最小，
最小值为9.806千米…（16分）

点评：本题以实际问题为载体，主要考查抛物线的标准方程及运用，属于中档题．