题目内容
(本题满分13分)如图,在三棱柱中,已知
侧面
(Ⅰ)求直线C1B与底面ABC所成角正切值;
(Ⅱ)在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得(要求说明理由).
(Ⅲ)在(2)的条件下,若,求二面角的大小.
【答案】
(Ⅰ) 2 (Ⅱ) 为的中点 (Ⅲ) 45°
【解析】本试题主要是考查了线面角和线线垂直的证明,以及二面角的平面角的求解的综合运用。
(1)先建立空间直角坐标系,然后表示平面的法向量以及直线的斜向量,利用向量的夹角公式得到线面角的求解。
(2)假设存在点使得满足题意,然后利用垂直关系解得点的坐标,进而分析得到结论。
(3)在前面的基础上,进一步得到两个半平面的法向量的求解,结合法向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小的运算。
解:如图,以B为原点建立空间直角坐标系,
则,,···················· 1分
(Ⅰ)直三棱柱中,平面的法向量,又,
设,
则 ·············· 3分
即直线与底面所成角正切值为2. ·········· 4分
(Ⅱ)设,则,
,∴
,即 ·················· 8分
Ⅲ)∵,则,
设平面的法向量,
则,取 ··········· 10分
∵,∴,
又····················· 11分
∴平面的法向量,∴
∴二面角的大小为45° 13分
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