Question

如图（1）为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）如图（2）所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；并求四棱锥B-CEPD的体积；
（2）求证：BE∥平面PDA．
（3）求二面角P-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的直观图，结合“长对正，高平齐，宽相等”的原则，易画出几何体的三视图，结合已知及面面垂直的判定和性质，求出BC⊥平面PDCE，代入锥体体积公式可得四棱锥B-CEPD的体积；
（2）根据已知结合面面平行的判定定理可得平面EBC∥平面PDA，进而根据面面平行的性质定理，可得BE∥平面PDA．
（3）由已知易分析出∠PAD即为二面角P-AB-C的平面角，解三角形PAD即可得到二面角P-AB-C的余弦值．

解答：解：（1）该组合体的正视图和侧视图如下图所示．

∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，
∴BC⊥平面PDCE．
∵S_梯形PDCE=

1

2

（PD+EC）•DC=

1

2

×3×2=3，
∴四棱锥B-CEPD的体积为
V_B-CEPD=

1

3

S_梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2．
证明：（2）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA．同理，BC∥平面PDA．
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面EBC∥平面PDA．
又∵BE?平面EBC，
∴BE∥平面PDA．
（3）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AB
又∵底面ABCD为正方形
∴AD⊥AB
∴∠PAD即为二面角P-AB-C的平面角，
∵在Rt△PAD中，PD=AD
∴∠PAD=45°
则二面角P-AB-C的余弦值为

2

2

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面所成的锐二面角大小的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．