题目内容
椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，若2x+
y的最大值为10，求椭圆的标准方程．
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分析：设椭圆的方程为
+
=1，由离心率算出a=2c且b=
c，因此通过三角换元得2x+
y=5csin（θ+φ），其中tanφ=
．根据最大值为10得到c=2，由此即可得到该椭圆的标准方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：解：设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0）
∵离心率e=
=
，
∴a=2c，可得b2=a2-c2=3c2，得b=
c
点P（x，y）是椭圆上的一个动点，
设x=acosθ=2ccosθ，y=bsinθ=
csinθ
∴2x+
y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ），其中tanφ=
∵2x+
y的最大值为10，
∴5c=10，可得c=2，所以a=4，b=2
因此椭圆的标准方程为：
+
=1
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵离心率e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴a=2c，可得b2=a2-c2=3c2，得b=
| 3 |
点P（x，y）是椭圆上的一个动点，
设x=acosθ=2ccosθ，y=bsinθ=
| 3 |
∴2x+
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∵2x+
| 3 |
∴5c=10，可得c=2，所以a=4，b=2
| 3 |
因此椭圆的标准方程为：
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
点评：本题给出离心率为
，其上一点P（x，y）满足2x+
y的最大值为10的情况下求椭圆方程，着重考查了椭圆的基本概念、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
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