题目内容

已知下表为函数f(x)=ax3+cx+d部分自变量取值及其对应函数值,为便于研究,相关函数值非整数值时,取值精确到0.01.
x3.271.57-0.61-0.590.260.42-0.35-0.564.25
y-101.63-10.040.070.0260.210.20-0.22-0.03-226.05
下列关于函数f(x)的叙述:
(1)f(x)为奇函数;                          (2)f(x)在[0.55,0.6]上必有零点
(3)f(x)在(-∞,-0.35]上单调递减;         (4)a<0
其中所有正确命题的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】分析:根据图表中f(0)=0求得d=0,进而可判断出f(-x)=-f(x)函数为奇函数,结合f(-0.56)<0可得f(0.56)>0,同理得f(0.59)<0,进而可知f(x)在[0.55,0.6]上必有零点;根据图象的趋势f(-0.35)=-0.22,f(-0.56)=-0.03,f(-0.59)=0.026,f(-0.61)=0.07,可推断出函数f(x)在(-∞,-0.35]上单调递减,根据其单调区间,可以判断其导函数的图象,进而得到a的符号.
解答:解:∵f(0)=0
∴f(x)=ax3+cx,则f(-x)=a(-x)3+c(-x)=-f(x)
即f(x)为奇函数,即(1)正确;
∵f(-0.59)=0.026>0,∴f(0.59)<0
又∵f(-0.56)=-0.03<0,∴f(0.56)>0
∵f(0.56)•f(0.59)<0
故在[0.56,0.59]上必有零点,则[0.55,0.6]上必有零点,即(2)正确;
由于函数f(x)=ax3+cx为三次函数,有三个零点,故函数必有三个单调区间
∵f(-0.35)=-0.22,f(-0.56)=-0.03,f(-0.59)=0.03,f(-0.61)=0.07,
∴f(x)在(-∞,-0.35]上单调递减,故(3)正确;
由于函数有两个单调递减区间,一个单调递增区间,故其导函数的图象是开口朝下的抛物线,故a<0,故(4)正确
故选A
点评:本题主要考查了函数奇偶性的判断.考查了学生分析推理和解决实际问题的能力.
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