Question

如图，2n台机器放在同一条直线形生产线上，它们所生产的零件都必须送到一个检验台上进行检验，已知移动零件所需的费用与所移动的距离成正比，要使移动零件到检验台的总费用最少，检验台的位置可以放置于以下情况中的哪几种？

①点M₁处；
②点Mn处；
③线段M₁M_2n上任一点；
④点M_n+1处
⑤线段M_nM_n+1的中点处．

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ②④⑤
4. D.
   ②③⑤

Answer 1

C
分析：我们 设想，先考察n=2，3，4等特殊情形，再从中寻求其一般规律，即探求其模 式．
解答：现在考察一些特殊情形：（1）如果只有2台机器，则易知线段M1M2 上任何一点都是检验台的最佳 位置（图1-2）． （2）如果有3台机器，则也易知检验台应放在中间的机器M2 的位置处（3）如果有4台机器，则对两端的机器M1 和M4来说，线段M1 M4 上任 何一点都是最佳位置；对中间的2台机器M2 和M3 来说，线段M2 M3 上任 何一点都是最佳位置．因此，对4台机器来说，线段 M2 M3 （=M1 M4∩M2 M3 ）上的任何点都是最佳位置对于5台或6台机器，问题也都容易解决．我们容易证明：一般地，如果 机器的台数是奇数，则最中间那台机器的位置就是检验台的最佳位置；如果 台数是偶数，则处在最中间的两台机器之间的任何点都是最佳位置．
综上所述，检验台的位置可以放置于以下情况中的点Mn处，点M_n+1处，线段M_nM_n+1的中点处．
故选C
点评：本题中设计的元素较多，不易直接求最大值，采用了有特殊到一般的解决办法．