Question

如图，抛物线的顶点在坐标原点，且开口向右，点A，B，C在抛物线上，△ABC的重心F为抛物线的焦点，直线AB的方程为。

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设点M为某定点，过点M的动直线l与抛物线相交于P，Q两点，试推断是否存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）y²＝16x

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）设抛物线方程为，

联立消去x，得。                              （2分）

设点，则，

所以。                          （4分）

设点，因为△ABC的重心为，则

，所以。                    （5分）

因为点C在抛物线上，则，解得p＝8，此时。

故抛物线方程为y²＝16x。                                                       （6分）

（Ⅱ）设过定点M的动直线l的方程为，代入抛物线方程y²＝16x，得

，所以。                                       （8分）

若以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，则，即。

所以，即，所以.

因为，所以。                                                 （10分）

所以直线l的方程为，即，从而直线l必经过定点。（11分）

若直线l的斜率不存在，因为直线与抛物线的交点为，此时仍有。故存在定点满足条件。                                （13分）