题目内容

如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，设 $数学公式$ ，将△ABC沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B的大小为 $数学公式$ ，连接A₁B、A₁P（如图2）．
（1）求证：PF∥平面A₁EB；
（2）若EF⊥平面A₁EB，求x的值；
（3）当EF⊥平面A₁EB时，求平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值．

（1）证明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF?平面A₁BE，BE?平面A₁BE
∴PF∥平面A₁EB；
（2）解：若EF⊥平面A₁EB，则EF⊥AE，∠AEF=90°
∵∠EAF=60°，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴x=1
（3）解：∵二面角A₁-EF-B的大小为 $\text{[math]}$ ，且EF⊥平面A₁EB，
∴EF⊥BE，A₁E⊥EF，平面A₁EF∩平面BEF=EF
∴A₁E⊥平面BEF
∵BE?平面BEF
∴A₁E⊥BE
∴EF，BE，A₁E两两互相垂直
以E为原点，建立空间直角坐标系，则由已知得，BE=1，A₁E=2，PF=FC=PC=1，EF=2 $\text{[math]}$
∴E（0，0，0），A₁（0，0，2），B（3，0，0），P（1，2 $\text{[math]}$ ，0），F（0，2 $\text{[math]}$ ，0）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是平面A₁EF的一个法向量
设平面A₁BP的法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）
∴平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）证明PF∥平面A₁EB，利用线面平行的判定定理，证明PF∥BE即可；
（2）若EF⊥平面A₁EB，则EF⊥AE，∠AEF=90°，从而可得 $\text{[math]}$ ，故可求x的值；
（3）证明EF，BE，A₁E两两互相垂直，以E为原点，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，确定 $\text{[math]}$ 是平面A₁EF的一个法向量，平面A₁BP的法向量 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ），利用向量的数量积即可求平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值．
点评：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，对于图形的翻折问题，关健是利用翻折前后的不变量，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一．是高考数学必考的知识点之一