题目内容

已知集合MD是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立．
（Ⅰ） 当D=R时，f（x）=x是否属于MD？说明理由；
（Ⅱ） 当D=[0，+∞）时，函数f(x)=
x+1
属于MD，求k的取值范围；
（Ⅲ） 现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）∈MD；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．
分析：（Ⅰ）先求出，|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|得到其小于等于2|x1-x2|，即可说明其成立．（当然也可以取其它k值）
（Ⅱ）直接对|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|进行整理，根据其取值范围即可得到k的取值范围；
（Ⅲ）先根据（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于MD，再借助于t是g（x）=0的根，以及f（g（t））=g（f（t）），得到g（x）=kx；最后根据k符合题意，则-k也符合题意，只需要借助与第三个要求求出k＞0时对应的范围，再综合即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）属于MD．
事实上，对任意x1，x2∈R，|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|≤2|x1-x2|，
故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈MD．
（Ⅱ）∵f(x)=
x+1
在[0，+∞）为增函数
∴对任意x1，x2∈[0，+∞）有|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|=|
x1+1
-
x2+1
(x1+1)-(x2+1)
|=
1
x1+1
+
x2+1
＜
1
2

（当x1=0，x2→0时取到），所以k≥
1
2
，此即为所求．
（Ⅲ）存在．
事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于MD．
∵t是g（x）=0的根∴g(t)=0⇒t=-
b
k
，
又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．
设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
①若k≥1，则
由h(
π
k
)=sinπ-ksin
π
k
＜0，
且h(
3π
2
)=sin
3kπ
2
-ksin
3π
2
=sin
3kπ
2
+k≥0，
所以，在[
π
k
，
3π
2
]中另有一根，矛盾．
②若
1
2
＜k＜1，
则h(
π
k
)=sinπ-ksin
π
k
≥0，h[2π]=sin2kπ-ksin2π＜0，
所以在[
π
k
，2π]中另有一根，矛盾．∴0＜k≤
1
2
．
以下证明，对任意k∈(0，
1
2
]，g(x)=kx符合题意．
（ⅰ）当x∈(0，
π
2
]时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx
∴h（x）＞0．
（ⅱ）当x∈(
π
2
，
π
2k
]时，sinkx＞sin
kπ
2
≥ksin
π
2
≥ksinx∴h(x)＞0．
（ⅲ）当x∈(
π
2k
，2π)时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在k∈(0，
1
2
]满足题意．
综上所述：k∈[-
1
2
，0)∪(0，
1
2
]，b=0为所求．
点评：本题是在新定义下对函数恒成立问题的考查，第三问比较麻烦，建议程度较差的学生直接略过，只须看前两问即可．
练习册系列答案
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（1）已知函数f（x）=-x2+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合MD是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x1，x2∈D，（x1≠x2）有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；
②当D=(0，
3
3
)，函数f（x）=x3+ax+b时，若f（x）∈MD，求实数a的取值范围．
已知集合MD是满足下列性质函数f(x)的全体：若函数f(x)的定义域为D，对任意的x1,x2∈D,(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|.

（1）当D=(0,+∞)时，f(x)=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；

（2）当D=(0,)，函数f(x)=x3+ax+b时，若 f(x)∈M.求实数a的取值范围.?

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