Question

若

lim

x→+∞

x

(

x+2

-

x-2

)=m，数列{a_n}中，a₁=1，an=

1

C m n

(n≥2)，则数列{a_n}的前n项和为（　　）

• A、

  2n-1

  n

• B、

  4n-3

  n

• C、

  3n+4

  7n

• D、

  3n-2

  n

Answer 1

分析：利用有理化因式可把

x

(

x+2

-

x-2

)化为

4

1+ 2 x + 1- 2 x

．再利用极限即可得出m，利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：∵

x

(

x+2

-

x-2

)=

4 x

x+2 + x-2

=

4

1+ 2 x + 1- 2 x

．
∴

lim

x→∞

x

(

x+2

-

x-2

)=

lim

x→∞

4

1+ 2 x + 1- 2 x

=

4

1+1

=2．
∴m=2．
∴an=

1

C 2 n

=2(

1

n-1

-

1

n

)（n≥2）．
∴当n≥2时，数列{a_n}的前n项和=1+2[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=1+2(1-

1

n

)=

3n-2

n

．
当n=1时也成立．
故选：D．

点评：本题考查了有理化因式、数列极限、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．