题目内容
如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，∠xOP=| π |
| 3 |
（1）比较|OM|与
| π |
| 6 |
（2）∠AOB的两边交矩形OMPN的边于A，B两点，且∠AOB=
| π |
| 4 |
| OA |
| OB |
分析：（1）记C（0，1），可求
，|OM|，由|PC|＜
，可得结论；
（2）设∠AOx=α，α∈[0，
]，P(
，
)，记f(α)=
•
，分α∈[0，
]，α∈(
，
]两种情况进行讨论，表示出f（α），根据其单调性及端点处函数值可求得范围；
 |
| PC |
|
| PC |
（2）设∠AOx=α，α∈[0，
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| OA |
| OB |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
解答：解：（1）记C（0，1），连接PC，则
=
-
=
，
依题意|OM|=|PN|=cos60°＜|PC|＜
，
∴|OM|＜
；
（2）设∠AOx=α，α∈[0，
]，P(
，
)，记f(α)=
•
，
①当α∈[0，
]时，A(
，
tanα)，B(
，
tan(α+
))，
∴f(α)=
•
=
+
tanα•tan(α+
)
=
(1+tanα
)=
•
=
•
=
•
=
•
=
；
②当α∈(
，
]时，A(
，
tanα)，B(
，
)，
∴f(α)=
•
=
(
+tanα)
=
(
+tanα)=
•
=
•
=
•
=
•
；
综上，f(α)=
，
f（α）在α∈[0，
]增函数，在α∈(
，
]是减函数，在α∈(
，
]是增函数，
∵f(0)=
，f(
)=
，f(
)=
，f(
)=
，
∴f(α)=
•
∈[
，
]．
|
| PC |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
依题意|OM|=|PN|=cos60°＜|PC|＜
|
| PC |
∴|OM|＜
| π |
| 6 |
（2）设∠AOx=α，α∈[0，
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| OA |
| OB |
①当α∈[0，
| π |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f(α)=
| OA |
| OB |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
| 1 |
| 4 |
| 1+tanα |
| 1-tanα |
| 1 |
| 4 |
| 1+tan2α |
| 1-tanα |
=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| cosα(cosα-sinα) |
=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| cos2α-cosαsinα |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 1+cos2α-sin2α |
=
| 1 | ||||
2(1+
|
②当α∈(
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
2tan(α+
|
| ||
| 2 |
∴f(α)=
| OA |
| OB |
| ||
| 4 |
| 1 | ||
tan(α+
|
=
| ||
| 4 |
| 1-tanα |
| 1+tanα |
| ||
| 4 |
| 1+tan2α |
| 1+tanα |
=
| ||
| 4 |
| 1 |
| cosα(cosα+sinα) |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 1+cos2α+sin2α |
=
| ||
| 2 |
| 1 | ||||
1+
|
综上，f(α)=
|
f（α）在α∈[0，
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
∵f(0)=
| 1 |
| 4 |
| π |
| 12 |
| ||
| 2 |
| π |
| 8 |
| ||||
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 4 |
∴f(α)=
| OA |
| OB |
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换、平面向量的综合应用，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力．
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，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
的大小，并说明理由；
，求
的取值范围．
，其中p、q均为整数且p、q互质）
，其中p、q均为整数且p、q互质）