题目内容

已知 $数学公式$ 在区间[1，2]上为增函数，则a的取值范围是________．

（1，4]
分析：把函数f（x）分解为两个基本函数y=log_at与t=4x+ $\text{[math]}$ ，因为f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以两函数y=log_at与t=4x+ $\text{[math]}$ 须同增或同减，
分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论再利用导数即可得到答案．
解答： $\text{[math]}$ 可看作由y=log_at与t=4x+ $\text{[math]}$ 复合而成的，x∈[1，2]时，4x $\text{[math]}$ ＞0．
①当a＞1时，y=log_at单调递增，因为f（x）单调递增，则须有t=4x+ $\text{[math]}$ ，x∈[1，2]，单调递增，
所以t′=4- $\text{[math]}$ ≥0即a≤4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤4×1²=4，则1＜a≤4；
②当时，y=log_at单调递减，因为f（x）单调递增，则须有t=4x+ $\text{[math]}$ ，x∈[1，2]，单调递减，
所以t′=4- $\text{[math]}$ ≤0即a≥4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≥4×2²=16，与0＜a＜1矛盾．
综上，a的取值范围是（1，4]．
故答案为：（1，4]．
点评：本题考查复合函数单调性的判断问题，应注意其判断方法：同增异减．