Question

设抛物线y²=-8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为

3

，那么|PF|=（　　）

• A．4

  3

• B．8

  3

• C．8
• D．16

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀），由题意可得A（2，y₀），|PA|=2-x₀，F（-2，0），由AF的倾斜角为60°，可求得，|AF|=8，从而可求得点P的横坐标x₀，继而可得答案．

解答：解法1：设P（x₀，y₀），由题意可得A（2，y₀），|PA|=2-x₀，F（-2，0）
∵直线AF的斜率为

3

，点F到准线的距离为2p=4，
∴AF的倾斜角为60°，|AF|=

4

cos60°

=8，
∴|AF|²=（2-（-2））²+y02=64，
∴y02=48，
又y02=-8x₀，
∴x₀=-6，
∴|PA|=2-x₀=8，由抛物线的定义可知，|PF|=|PA|=8，
解法2：数形结合法．如图右，由题设知∠AFO=60°，PA∥FO，
所以∠FAP=60°，又因为PA=PF，
所以△PAF为正三角形，所以PF=FA=2FH=2p=8
故选C．

点评：本题考查抛物线的简单性质，求得点P的横坐标x₀是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．