题目内容
已知[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x-[x]．给出如下命题：
①使[x-1]=3成立的x的取值范围是4≤x＜5；
②函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]；
③{
}+{
}+{
}+…+{
}=1006；
④设函数f（x）=
，则函数y=f(x)-
x-
的不同零点有3个．
其中正确的命题的序号是
①使[x-1]=3成立的x的取值范围是4≤x＜5；
②函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]；
③{
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| 20123 |
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| 20122012 |
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④设函数f（x）=
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| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
其中正确的命题的序号是
①③④
①③④
．分析：①由题意知[x-1]=3时，有
，解得即可；
②由题意[x]≤x＜[x]+1，得x-[x]的取值范围，即{x}的值域；
③观察{
}=
，{
}=
，{
}=，…，{
}=
，计算{
}+{
}+{
}+…+{
}的值；
④由题意0≤f（x）＜1，讨论0≤x＜1，x≥1和x＜0时，y=f（x）-
x-
的零点情况．
|
②由题意[x]≤x＜[x]+1，得x-[x]的取值范围，即{x}的值域；
③观察{
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④由题意0≤f（x）＜1，讨论0≤x＜1，x≥1和x＜0时，y=f（x）-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解答：解：∵[x-1]=3，∴
，∴4≤x＜5，∴①正确；
∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函数{x}的值域是[0，1），∴②错误；
∵{
}=
，{
}={
}={2013-2+
}=
，{
}={
}={20132-3×2013+3-
}={-
}=
，…，{
}=
，∴{
}+{
}+{
}+…+{
}=
+
+
+…+
=1006，∴③正确；
∵f（x）=
，∴0≤f（x）＜1；当0≤x＜1时，f（x）=x，∴y=x-
x-
有零点x=
；当x≥1时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-
x-
在x=1时有最大值
，且无最小值，∴函数y有一零点；当x＜0时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-
x-
在x=0时有极小值-
，且无最大值，∴函数y有一零点；∴④正确．
故答案为：①③④．
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∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函数{x}的值域是[0，1），∴②错误；
∵{
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| (2013-1)2 |
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| (2013-1)3 |
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∵f（x）=
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| 3 |
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| 2 |
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故答案为：①③④．
点评：本题考查了新定义下的函数值的求解，以及函数的定义域值域问题，解题的关键弄清题意，结合所学的知识寻找解题的方法，是易错题．
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