Question

过抛物线C：

x

2

=2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义，结合|AF|=2，即可求得抛物线的方程；
（2）直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及MA⊥MB，建立方程，即可求直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（1）∵|AF|=2，∴由抛物线的定义，可得1+

p

2

=2，∴p=2
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）抛物线C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，

x 2 1

4

），B（x2，

x 2 2

4

），M（x0，

x 2 0

4

）
直线方程代入抛物线方程可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∵MA⊥MB，∴

MA

•

MB

=0
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+(

x 2 1

4

-

x 2 0

4

)(

x 2 2

4

-

x 2 0

4

)=0
∵M不与A，B重合，∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）≠0
∴1+

1

16

（x₁+x₀）（x₂+x₀）=0
∴x₁x₂+（x₁+x₂）x₀+

x

2 0

-16=0
∴

x

2 0

+4kx0+12=0
∴△=16k²-48≥0
∴k≤-

3

或k≥

3

．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．