Question

定义域和值域均为[-a,a]（常数a＞0）的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，给出下列四个命题：

    

①方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；

②方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；

③方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；

④方程g[g(x)]=0有且仅有一个解.

那么，其中的正确命题是(    )

A.①③             B.②③              C.③④             D.①④

Answer 1

解析:由图知f(x)的图象与x轴有3个交点，g(x)的图象与x轴有且仅有一个交点，设f(x)=0的三个根分别为x₁、x₂、x_3。则x₁、x₂、x₃∈[-a,a],再设g(x)=0的一个根为x₄,x₄∈[-a,a].

    则由f(g(x))=0g(x)=x₁或g(x)=x₂或g(x)=x₃,再由g(x)的单调性知f[g(x)]=0有且仅有三个解，因此①是正确的，同理可判断②，③皆错，④对，因此答案应为D.

答案:D