Question

已知二次方程x²+ax+2=0．
（1）若方程的两根α、β满足α＜2＜β，求实数a的取值范围；
（2）若两根都小于-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x²+ax+2，则函数图象是开口方向朝上的抛物线，若二次方程x²+ax+2=0两根α、β满足α＜2＜β，则易得f（2）＜0由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出满足条件的实数a的取值范围；
（2）若二次方程x²+ax+2=0两根都小于-1，则需要满足三个条件①方程有两个根，即△≥0；②对称轴在-1左侧，即-

a

2

＜-1；③f（-1）＞0，由此可以构造出一个关于a的不等式组，解不等式组即可求出满足条件的实数a的取值范围；

解答：解：（1）令f（x）=x²+ax+2．
∵α＜2＜β，
由方程实根分布，当且仅当f（2）＜0．
∴6+2a＜0，
∴a＜-3．
（2）易知函数即f（x）的图象与x轴的交点在（-1，0）左侧，
当且仅当

△=a2-8≥0 - a 2 ＜1              ? f(-1)=3-a＞0

2

2

≤a＜3．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，利用方程与对应函数的关系，将求方程问题转化为函数问题是解答本题的关键．