题目内容
(2013•枣庄二模)已知抛物线x2=2py上点(2,2)处的切线经过椭圆E:
+
=1(a>b>0)的两个顶点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B,C两点,是否存在一点D,使得直线BC恒过该点?若存在,请求出定点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若△ABC的重心为G,当边BC的端点在椭圆E上运动时,求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围.
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B,C两点,是否存在一点D,使得直线BC恒过该点?若存在,请求出定点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若△ABC的重心为G,当边BC的端点在椭圆E上运动时,求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围.
分析:(1)把(2,2)代入抛物线方程x2=2py,即可得到p,即可得到抛物线的方程.利用导数即可得到切线的斜率,利用点斜式即可得到切线方程,即可求出与坐标轴的交点坐标,即可得到a,b.可得椭圆的方程.
(2)假设直线BC恒过定点D,由题意可知直线BC的斜率必存在,故可设直线BC的方程为y=kx+m(m≠2).
设B(x1,y1),C(x2,y2).由(1)知A(0,2).把直线方程与椭圆方程联立可得△>0及根与系数的关系,再利用kAB•kAC=
•
即可得出m.进而可得答案.
(3)利用椭圆的性质和三角形的重心性质即可得出.
(2)假设直线BC恒过定点D,由题意可知直线BC的斜率必存在,故可设直线BC的方程为y=kx+m(m≠2).
设B(x1,y1),C(x2,y2).由(1)知A(0,2).把直线方程与椭圆方程联立可得△>0及根与系数的关系,再利用kAB•kAC=
y1-2 |
x1 |
y2-2 |
x2 |
(3)利用椭圆的性质和三角形的重心性质即可得出.
解答:解:(1)把(2,2)代入抛物线方程x2=2py,得22=2p×2,解得p=1,
∴抛物线的方程为x2=2y;
∴y′=x,∴抛物线x2=2y在点(2,2)处的切线的斜率为y′|x=2=2,
∴抛物线在点(2,2)处的切线方程为y-2=2(x-2),化为y=2x-2.
它与两坐标轴的交点分别为(1,0),(0,-2),由题意可得a=2,b=1.
∴椭圆的方程为
+x2=1.
(2)假设直线BC恒过定点D,由题意可知直线BC的斜率必存在,故可设直线BC的方程为y=kx+m(m≠2).
设B(x1,y1),C(x2,y2).由(1)知A(0,2).
联立
消去y得到(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0,
由△>0,得(2km)2-4(k2+4)(m2-4)>0,化为k2-m2+4>0.
∴
,
∴kAB•kAC=
•
=
=
=
=
=
=
.
由题意可得
=-4,解得m=0,满足△>0.
∴直线BC的方程为y=kx,直线BC恒过定点D(0,0).
(3)由(2)可知:原点(0,0)在直线BC上,
由椭圆的对称性可知AO为△ABC的边BC上的中线,由|AG|=2|GO|和A(0,2),得G点的坐标为(0,
).
∴|GA|2=(2-
)2=
.
∴|GA|2+|GB|2+|GC|2=
+
+(y1-
)2+
+(y2-
)2=
+2
+2
=
+2
+8(1-
)=
-6
.
不妨设点C在y轴的右侧,则x2∈(0,1].
∴
≤
-6
<
,即求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围是[
,
).
∴抛物线的方程为x2=2y;
∴y′=x,∴抛物线x2=2y在点(2,2)处的切线的斜率为y′|x=2=2,
∴抛物线在点(2,2)处的切线方程为y-2=2(x-2),化为y=2x-2.
它与两坐标轴的交点分别为(1,0),(0,-2),由题意可得a=2,b=1.
∴椭圆的方程为
y2 |
4 |
(2)假设直线BC恒过定点D,由题意可知直线BC的斜率必存在,故可设直线BC的方程为y=kx+m(m≠2).
设B(x1,y1),C(x2,y2).由(1)知A(0,2).
联立
|
由△>0,得(2km)2-4(k2+4)(m2-4)>0,化为k2-m2+4>0.
∴
|
∴kAB•kAC=
y1-2 |
x1 |
y2-2 |
x2 |
=
(kx1+m-2)(kx2+m-2) |
x1x2 |
=
k2x1x2+k(m-2)(x1+x2)+(m-2)2 |
x1x2 |
=
| ||||
|
=
k2(m2-4)-2k2m(m-2)+(k2+4)(m-2)2 |
m2-4 |
=
k2(m+2)-2k2m+(k2+4)(m-2) |
m+2 |
4(m-2) |
m+2 |
由题意可得
4(m-2) |
m+2 |
∴直线BC的方程为y=kx,直线BC恒过定点D(0,0).
(3)由(2)可知:原点(0,0)在直线BC上,
由椭圆的对称性可知AO为△ABC的边BC上的中线,由|AG|=2|GO|和A(0,2),得G点的坐标为(0,
2 |
3 |
∴|GA|2=(2-
2 |
3 |
16 |
9 |
∴|GA|2+|GB|2+|GC|2=
16 |
9 |
x | 2 1 |
2 |
3 |
x | 2 2 |
2 |
3 |
8 |
3 |
x | 2 2 |
y | 2 2 |
8 |
3 |
x | 2 2 |
x | 2 2 |
32 |
3 |
x | 2 2 |
不妨设点C在y轴的右侧,则x2∈(0,1].
∴
14 |
3 |
32 |
3 |
x | 2 2 |
32 |
3 |
14 |
3 |
32 |
3 |
点评:本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、三角形的重心性质等基础知识及基本技能,考查了推理能力和计算能力.
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