Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（1）求证：A′D⊥EF．
（2）求三棱锥D-A′EF的体积．

Answer 1

分析：（1）可得A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，可判A′D⊥平面A′EF，可得结论；
（2）可得A′F=A′E=1，EF=

2

，由勾股定理可得A′E⊥A′F，易得△A′EF的面积，又A′D是三棱锥D-A′EF的底面A′EF上的高线，代入体积公式可得．

解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，
∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F⊆平面A′EF．
∴A′D⊥平面A′EF．
又∵EF?平面A′EF，
∴A′D⊥EF．
（2）∵A′F=A′E=1，EF=

2

∴A′F²+A′E²=2=EF²，可得A′E⊥A′F，
∴△A′EF的面积为

1

2

×1×1=

1

2

，
∵A′D⊥平面A′EF．
∴A′D是三棱锥D-A′EF的底面A′EF上的高线，
故三棱锥A₁-DEF的体积为：V=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

点评：本题考查线面垂直的判定，涉及棱锥的体积的求解和三角形的面积公式，属中档题．